古罗马数字(新罗马字体百科全书)-07-25 14: 52一块砖头守护着你。
人类的一般观念是，事物一定要有最基本的结构，在这个基础上才能逐渐丰富起来，变得越来越复杂。因此，人类首先发明了最基本的单位“1”，而“1”的发明是数学理论的开端。但是，基本单位要形成复杂的结构，就必须通过某种运算组合起来，所以人类发明了“加、减、乘、除”四种运算。通过数字“1”的无穷运算，人类发现了自然数、负数、整数、奇数、偶数、完全数、素数、代数数、有理数、无理数、超越数、超限数、实数、虚数、复数等一系列数字系统。
纵观“数”的发展史，我们会发现数系的发现与人类认知的发展有着很大的关联。起初，人们只知道数字是从1开始逐渐增加的一系列数字。这些数字整齐地排列在一维数轴上，间隔相等，数字无穷。这些数字是自然数。数字“0”直到人类长期使用自然数才出现。在古印度，人们发明了九个梵语单词来表示从1到9的数字。当描述超过9的数字时，它们被舍入到一个新的位置，并再次从1开始计数。但是代表“十”的时候，1后面少了一个位置空，没什么，是的。当时佛教在印度盛行。在大乘空佛教的影响下，梵语nya被引入来表示这个数字，意思是“空”。后来，这个数字在公元500年左右传入古罗马，但根据罗马教义，上帝创造的数字中没有怪物“0”，它的出现是对上帝的亵渎，所以教皇不仅残忍地折磨了引入“0”的学者，还明确禁止使用“0”。但是“0”的使用在当时的数学界还是秘密进行的，也为数学的发展做出了重要的贡献。实践证明，“0”在数学中是不可或缺的，因为“0”不仅是唯一的中性数，也是正负数的分界点，是坐标轴的原点。没有“0”，坐标系就无法建立，整个几何建筑就会坍塌。
分数的出现相对自然。原始人类发现，在分配猎物的时候，如果三个人分两个猎物，大家就不能再分享整个猎物了？于是分数就产生了。随着社会的发展，人们发现许多量具有相反的含义，如增加和减少，前进和后退，上升和下降。为了表示这样一个量，会生成一个负数。正整数、负整数和零统称为整数。如果加上正负分数，它们统称为有理数。
有理数对应无理数，无理数的发现是非常偶然的。在公元前500多年的希腊，出现了一个毕达哥拉斯学派，认为“数”是万物的本源，主宰着整个自然界和人类社会，所以世界上的一切都可以归结为数或数的比例，这是世界上美好与和谐的源泉。但是有一天，学校的学生希帕索斯偶然发现，边长为1的正方形的对角线长度是不能用任何分数表示的。这个数必须存在，不能用现有数来表示。这个数字的出现动摇了毕达哥拉斯学派的哲学基础。为了让支撑世界的数学大厦不至于倒塌，他们残忍地将希帕索斯扔进了海里并保守秘密。然而，真相是无法隐藏的。人们后来发现，越来越多这样的数字是无理数。有理数和无理数统称为实数。
在这一点上，人们认为所有的数字都被发现了，真正的数字系统已经被这些数字填满了，没有遗漏任何东西。但事实证明，这只是一厢情愿的假设。数学家在研究实数系中各种集合数之间的对应关系时，发现自然数和实数虽然有无穷多种，但它们之间并没有一一对应的关系，也就是说，实数中一定还有一个看不见的数，是不能列出来的。后来，他们发现这个数是超越的。目前我们发现的超越数只有π和自然对数的底e以及与之相关的少数，无限多的超越数还隐藏在有待发现的实数海洋中。目前我们只知道E能代表组成元素有规律变化的连续分数，而π不能。超越数的规律是什么，超越数能否进一步分类，都是数论中未解之谜。
因为实数比自然数多，所以实数的无穷性大于自然数的无穷性。因此，自然界中有无限多种不同的大小。如果这些“无穷大”按照大小排列，就会构成一个超限数系统。在这个数字系统中，每个数字都是无限的，但大小不同，也是无限的。康托一直试图证明自然数的无穷大和实数之间是否存在其他无穷大。这就是著名的连续统假说。如果没有其他无穷大，则连续统假设为真，否则连续统假设为假。出乎意料的是，康托的所有努力都将是徒劳的，因为连续统假设在包括选择公理在内的系统中既不能被证明，也不能被证伪，而选择公理是我们通常默认应用的常识公理。它的一般含义是:“如果有无限堆苹果，我们可以从每堆中选择一个，形成一堆新的苹果”。这个看似简单又绝对正确的公理，其实和数学的基础有关。认识到这个公理，连续统假设是不可证明的，也就是说，我们永远不能明确地说，在自然数的无限性和实数的无限性之间，是否还有其他的无限性。没有认识到这个公理，连续统假说是错误的，即自然数的无穷和实数的无穷之间有更多的无穷层次，这种无穷的数量是无穷的。关于连续统假说的争论一直没有中断。首先，“选择公理”是否正确，能否用更基本的公理来证明？其次，是选择公理真正影响了连续统假说吗？选择公理的“连续统假设”不能证明吗？后来，关于这些问题有各种各样的观点和争论。我个人认为问题的关键在于可数性。我们通常意义上的无穷大就是建立在这个基础上的，也就是我们可以把连续的数变成离散的数，一个一个地数出来。这也是我的一个重要观点:“出入不是抽象世界和物理世界的基本属性，而是观察者和观察过程的基本属性。被观测对象的连续性总是根据观测者的尺度表现出不同精度的离散性，我们观测的物理世界总是离散的、量子的，不可能是连续的。”在此基础上，只能有一种无穷大，对应自然数的无穷大。超出这个基础，就超出了我们的观察范围，即系统变得连续，不再可数。一个不可数的系统只有一种无穷大，对应于实数的无穷大。一个连续体所涵盖的东西超出了人类意识的理解范围。连续统没有可数性。严格来说，它没有所谓的“无限”，只有无限之上的“超贫困”。无数的事情不会持续，只会持续到永远。“超贫”已经超越了数量的概念，成为一种固有的本性。
复数的发现是偶然的。学过初等数学的人都知道负数没有平方根，因为任何实数的平方都是正数。然而在16世纪，意大利米兰的学者卡丹在解三次方程时，首次使用了负数的平方根。笛卡尔把这个看似不存在的平方根称为“虚数”。后来，科学家们不断地对“虚数”的真实性提出质疑和争论，直到高斯发现二维平面上点的坐标可以用实数和虚数一起表示，然后这些争论得到了解决，平面上点的坐标所代表的数就是复数。至此，人们终于认识到复数原来对应的是一个二维的数集，而数系第一次与维度相联系。实数对应一维直线上的点，复数对应二维平面上的点。虽然已经证明了直线上的点和平面上的点可以建立一一对应关系，但是我们不能认为直线和平面是等价的，这里的关键在于维度。“直线上的点”和“平面上的点”的本质区别是“点与点之间的关系”的区别。这些点之间的关系决定了直线不能代替平面。直线上的点排列有序，大数总是在小数前面，而平面上的点比直线上的点有更复杂的相关性。我们不能比较两个复数的大小，只能比较两个复数的范数的大小(范数是表示复数的点到原点的距离的平方)，范数相同的复数正好形成一个以原点为中心的圆，所有的复数都满足两个复数的范数的乘积等于两个复数的乘积的范数。也就是说，只有一条直线和一个平面上的点数是相同的，但在更高的层次上，它有更复杂的本质，即在数的规律背后有更深层次的规律性，这就是量纲的本质。
复数的发现只是人类理解更高维度的开始。发现1元数A对应实数，在几何上可以用直线来描述。如果实数加减，相当于在一条直线上左右移动；如果对一个实数进行乘法和除法，就相当于拉伸或翻转一条直线(乘以负数就是翻转)。2元数字(a+bi)对应复数。在几何学中，它可以被描述为平面上一个点的坐标。再加一个复数a+bi，相当于横向移动a点，然后纵向移动b点，乘以复数不仅会移动平面，还会旋转平面。乘以I相当于把平面逆时针旋转90度，乘以I再乘以I相当于把平面转半圈。除法与乘法相反。除以一个复数就是把放大变成缩小，反之亦然，然后反方向旋转。大多数可以对实数进行的运算也可以对复数进行，用复数解一些方程更方便。
数学家们很快意识到，如果二维数系可以为我们提供更大的计算能力，为什么不考虑将其扩展到更高维的数系呢？然而，这个看似简单的任务却极其困难。19世纪爱尔兰著名数学家汉密尔顿在研究复数向三进制数a+bi+cj的展开时，遇到了难以克服的困难。因为三进制数的乘法不能满足“模法则”，ij和ji之间的关系和值也不能明确定义。三个数平方和定理引起了三进制数定义中的问题，然后ij的值给三进制数带来了很多无法解决的问题。可能一开始三进制数的想法是错误的，也可能需要实数和虚数之外的另一个数来表示ij。简而言之，三进制数就像一个次品，没有任何有意义的性质。然而，四元数a+bi+cj+dk，已经扩展到四维，曝光了。根据汉密尔顿的叙述，当他和妻子走在都柏林的皇家运河上时，他们突然想到了方程的解i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1 1，汉密尔顿立即将这个方程刻在了附近的布鲁姆桥上，这一度成为数学界的一个有趣的话题。如果把四元数的集合看作多维实数空区间，则四元数表示四维空区间。满足四元数乘法的组合率但不满足交换率，即ab不等于ba，四元数的“加、减、乘、除”运算可以表示物体在三维空中的运动，其中bi、cj和dk用来描述三维中的旋转和缩放，而A用来描述整个三维中的膨胀和收缩程度空，也就是描述三维空
数字系统向更高维度的扩展并没有停止。1845年，阿瑟·凯利发表了八进制数的发现。八进制数(a+bi+cj+dk+el+fm+gn+ho)是四元数的非联想推广，不满足乘法的组合率，即a(bc)不等于(AB) C，后来发现这一系列新的数系满足一个简单的规律，即每个代数系统的维数是前一个的两倍。这样的代数系统构成一个序列，称为Gloria-Dixon结构，由这个过程生成的所有代数系统，即所谓的Gloria-Dixon代数系统。实数、复数、四元数和八进制数都是Gloria Dixon构造的代数系统序列之一。这四种数都满足两个相同的定律:第一，两个数的范数之积等于两个数乘积的范数；第二，这四种数可以做“加、减、乘、除”四种运算，我们称之为“赋范可分代数”。虽然定义允许“赋范可分代数”是无限维的，但实际上不是。实数域上仅有的赋范可分代数有:实数、复数、四元数和八进制数。即n个平方和与n个平方和的乘积可以写成n个平方和，只有当n为1，2，4或8时才有效。数学表达式为:(A1 2+A2 2+…+An 2)(B1 2+B2 2+…+BN 2)= C1 2+C2 2…+CN 2(当且仅当n=1，2，4，8)一个有趣的现象是，与实数相比，复数缺少“共轭就是自身”的代数性质；四元数比复数缺少“乘法的交换律”；但八进制数的四元数缺少“乘法结合律”；至于十六进制数，与八进制数相比，它保留了一种叫做幂组合的代数性质，但失去了“代数的交错性”，因此不再是复合代数。
高维系统的扩展让我们看到，高维有更多的自由度，但更高的自由度也在浪费操作所依赖的基础。看来自由度应该有一些限制，否则宇宙可能会在物理世界的层面上崩溃。在抽象世界中，只允许这四个数值系统“赋范可分”，这是宇宙自律性的表现。也许只有这些数值系统才能表达我们生活的物理世界，而高维代数只能表达不可观测的世界。
回过头来看，我们会发现人类对数的定义和理解隐含着两个基本原则:1。“离散性”(或量子)原理，即我们认为1是一个基本单位，一个基本量子，它是一个整体。虽然在数学的抽象世界中它是无限可分的，但人类认知中一直认为，最终还有一系列更细微的单位1，因为只有在这个基础上，数字才能被计数。2.“相等”原则，即我们总是认为一个数的下一个数一定要增加单位量，比如1后跟2，2后跟3，3后跟4，以此类推直到无穷大。无论分数、小数、无理数还是超越数，它们总是由无数个越来越精细的单位组成。这些单位总是均匀分布在同一水平。这些级别被称为十进制。当第一原则被打破时，我们就有了微积分。微积分体现了一种不断变化的运算思想，重建了无限可分离散变化全过程的连续性，开创了数学发展史上的一场革命。那么有没有可能打破第二原则，实现数学的新突破呢？我们可以看到，等式原理的结果是十进制的确定性，即无论我们采用什么十进制，我们总能看到两个不同区间的结构是相同的，这与宇宙的随机性和不确定性相矛盾。用这种方法计算不确定度是不可能的，也不能很好地表达不确定量。我们可以通过引入概率来开发一组本质上不同的数字吗？我们可以用这种方法构造一个新的自然数集。“基本单位”可以表示为一个不确定的随机量，它后面的数以这个不确定的量为总概率增加随机量，以此类推。例如，如果随机数M是第一个数，那么M就是基本单位。基本单位具有自身数的乘积等于自身的性质。数学表达式为M m = M，第二个数为m+mx1，第三个数为m+mx1+mx2，其中x1，x2…xn是0到m之间的随机数，如果X1 = X2 = x3 =…xn可以看出，这种数系比自然数更基本。也许我们可以用它来更准确地描述不确定的量。在对它的研究中是否会有一些不寻常的发现，是否能揭示我们以前对概率的理解实际上是基于“平均律”的根深蒂固的影响？在这个数系中，传统概率的正态分布、幂律、齐夫定律的曲线会变直吗？概率分布呈现曲线是因为平均数吗？在此基础上，我们甚至可以建立一个非整数的随机十进制，那么有没有可能出现无理数或者十进制以外的数呢？这样的数字描述的抽象世界会是什么样子？我相信有一天人类能够解开这个谜团。
我们再来谈谈质数。素数是一种非常特殊的数字。它们是整个自然序列的基础。它的数学定义是“在大于1的自然数中，除了1和整数本身，它不能被其他自然数平均除”。换句话说，只有具有两个正因子(1和自身)的自然数才是素数。更通俗易懂的理解是:“要想在不破坏苹果的情况下，把一堆素数相同的苹果分成相等的N份，每堆只能有一个苹果”。在自然界中，1也应该是一个素数，因为它的正因子只有1和它本身，但它本身只有1。素数的分布一直是数学中一个棘手的问题。质数就像一堆自然生长的野草。虽然它们逐渐稀疏直到无穷大，但似乎根本没有规律。关于素数分布最著名的定理是大家熟知的哥德巴赫猜想，描述如下:“任何大于2的偶数都是两个素数之和”，意思是:“如果有一个任意数的苹果堆，只要能分成两个相同数的苹果堆，就会分成两个相同素数的苹果堆”。直到现在，哥德巴赫猜想还没有被完全证明。到目前为止，最接近的证明是中国数学家陈景润先生给出的，此后一直在苦苦挣扎。现在，我们知道哥德巴赫猜想等价于质数对称定律，即“对于任何大于3的正整数m，至少有一个小于m的正整数n，这样m+n和m-n都是质数”。简单来说，“在任意整数前后相同的距离上，总有两个数是质数”。这个定律表明了素数分布的内在对称性，这是一种结构对称性，贯穿于整个素数系统。今天，数学家知道素数的分布与黎曼猜想密切相关。在调和分析的意义下，黎曼ζ函数的零点可以看作素数分布的调和。
临界线上黎曼ζ函数的实部(红色)和虚部(蓝色)Re(s) = 1/2，但遗憾的是，黎曼猜想比哥德巴赫猜想更难克服，它是比哥德巴赫猜想更基本的问题，它关系到数学中许多未解问题的答案。著名数学家希尔伯特曾经说过，如果他睡了1000年后醒来，他会问的第一个问题会是:黎曼猜想被证明了吗？到目前为止，90年代英国著名数学家迈克尔·阿蒂亚声称的黎曼猜想的证明，在数学界仍不清楚。素数的分布可能只是反映了抽象世界的两个最基本的规律:随机性和对称性。素数的分布是一种随机对称，根本不可能用普通的代数公式来表示。在本征对称的前提下，素数的分布总是随机的、不规则的。随机性和对称性既是矛盾又是有机结合，素数就是这种有机结合的整体。对称性和随机性在素数结构内相互斗争，没有人能打败任何人。在这种斗争和平衡中，整个素数结构被永久地确定下来。素数的内部对称性和自相似性必然意味着更微妙的迭代和更复杂的维度。也许注定是定性描述而不是定量描述。
在众多数字中，还有另外两个数字非常特殊。它们是圆周率和自然对数的底e。它们与I、1、0一起构成了与数学基础相关的五个组合，几乎所有重要的数学理论和物理定律都离不开它们。自然对数的底数e = 1+1/1！+1/2!+1/3!+…，其值约为2.718281828…，是一个超越数。因为e是基数，所以很多公式都可以简化，而且是最“自然”的，所以也叫“自然对数”。塑造自然物质形态的涡旋形状和螺旋形状与E密切相关，E也可以通过一个极限得到，即(1+1/x) x，无论x趋向于正无穷大还是负无穷大，都等于2.71828…..这也反映了自然界与生俱来的对称性和极端相遇的真相。圆周率是周长与直径的比值，约为3.141592654…..它也是一个超越数。π可以严格定义为满足sin(x) = 0的最小正实数x。与圈层关系密切，圈层也是自然界最节约资源的精致结构。在有限的周长下，圆所包围的面积总是最大的。I是虚数的基本单位。它是1在其他维度的镜像。有多少维度，就有多少不同类型的我。I代表“旋转”的度量。1是自然数的基本单位。实数集中的所有数字都用1的延拓来表示，1代表“延拓”的度量。0是一个无限大的量，看不见，包罗万象。这些最简单最直观的数字包含了最深刻的规律。这五个数字0、1、I、π、e总结了空整个世界的缺席、延伸、旋转、和谐、圆整、螺旋上升。伟大的数学家欧拉发现了它们之间的关系，数学家评价为“上帝创造的公式”:
实际上，当x=π时，是e IX = cosx+isinx的特例。这个公式也揭示了三角函数和指数函数的关系。欧拉公式让我们对抽象世界有了新的认识。说明在抽象世界中，不同维度看似不相关的量之间，实际上存在着紧密的联系和转化关系。虚数i*i=-1说明不同维度的运算有完全不同的含义。数轴上的操作对应拉伸和收缩，而二维中的操作包含旋转。i*i是将单位量逆时针旋转两次，运算结果正好等于-1。我们可以试着这样理解欧拉公式，即X轴上坐标为(e，0)的点在二维上以90度螺旋绕原点旋转π次空，坐标变为(-1，0)。
关于数字的展开，也许人类还远未走到尽头，但人们在对数的研究中发现了比数字更重要的东西，那就是结构。数字只是某种表象，其背后是抽象世界的内在结构，这是数字的本质。由此，人类实现了飞跃，开始转向对基本结构的研究，即“群体”。
