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素数有哪些(素数都有哪些)

原创投稿 wpadmin 3个月前 (02-21) 51次浏览 0个评论

什么是质数(什么是质数)

素数是所有数字的基础,就像元素周期表中的化学元素一样,化学元素是所有化学物质的基础,而素数包含了数字的所有奥秘,所以数学研究者对素数情有独钟。

素数

素数,也叫质数,是指除了1和它本身以外没有其他因子的自然数,如2、3、5、7、11、13等。

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古希腊数学家欧几里德(约公元前330年-公元前275年)首次研究了素数。他在《几何质数》中运用反证法,给出了“质数无穷多”的经典证明方法

证明想法:

假设有最大的素数p,将所有已知的素数相乘,加1得到m:

M=2×3×5×7×11×……×P+1,

显然,M不能被任何已知的素数整除,所以M可能是素数,或者有一个大于P但小于M的素数因子;无论哪种情况,都意味着有一个大于P的质数,这与假设相矛盾,所以质数是无限的。

质数是整数的基础。所有整数都可以用质数表示,如下所示:

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所以素数包含了整数的所有奥秘,整数分解是解决整数奥秘的方法之一,因为整数分解后只剩下质因数。

素数的应用

在现实生活中,数字的分解是许多网络加密的基础。我们很容易将两个已知的数相乘,但是分解一个大数是非常困难的。利用整数的不对称性,密码学家巧妙地设计了加解密的数学原理,如基于大数分解的RSA非对称加密算法。

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换句话说,一旦有了可以快速分解一个大数的算法,那么RSA加密方法就会失败,但是到目前为止还没有这样高效的算法。

质数未解之谜

数学家们发现了许多围绕质数的定律,其中许多都是猜想,其中一些几百年来没有人证明过。这些猜想是数学的圣杯,谁能证明其中之一,谁就一定会被载入史册。

(1)哥德巴赫猜想

猜测内容:任何大于2的偶数都可以写成两个素数之和,简称“1+1=2”。

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哥德巴赫于1742年提出,至今已有270多年。最好的成就是中国数学家陈景润证明的“1+2”,即任何足够大的偶数都可以写成一个素数和一个不超过2的素数的乘积之和。

(2)孪生素数猜想

相差2的素数对称为孪生素数,如5和7,11和13。这个猜想说有无限对孪生素数。

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目前成果最好的是美籍华人数学家张,他在2013年提出了一种方法,证明了无穷多对素数之差小于某个数M,当时张证明了M = 7000万的情况,一旦M=2完成,孪生素数的猜想就解决了,目前M已经减少到200多对。

(3)ABC猜想

这个猜想描述了三个素整数A、B、C(满足a+b=c)的素因子之间的关系。这是数论中一个非常奇妙的猜想,也是一个非常强的数学猜想。ABC猜想一旦被证明,只需短短五句话就能证明费马大定理。

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美国广播公司猜测的最新消息是,2012年,日本数学家町村信一声称完成了证明。他的证明过程有500多页,包括很多自定义的符号和算法,以至于没有人能对他的证明给出合理的判断。

(4)黎曼猜想

素数有无限多种,但素数的分布极不规则。由于整数中质数的特殊性,数学家对质数总是有着特殊的兴趣,很多优秀的数学家一生都在研究质数的分布规律。

素数分布规律的第一个突破是伟大的数学家高斯在1792年(15岁)发现了素数定理。质数定理说质数的分布是渐近于积分函数的,但高斯无法证明质数定理,这使得质数定理成为19世纪最著名的数学问题。直到1896年,素数定理才被其他人证明。

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素数定理是素数分布的渐近公式,但是随着个数的增加,素数定理和素数分布的绝对误差会趋于无穷大,所以素数定理的实用性并不大。

直到1859年,高斯的学生黎曼在一篇论文中推广了欧拉100多年前发现的一个公式,进而推导出素数分布的精确公式π(x)。公式是否有效,取决于一个猜想——黎曼猜想的正确性。

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从黎曼猜想可以看出,素数的分布取决于黎曼函数非平凡零点的分布。由于黎曼函数的所有非平凡零点都对每个素数有贡献,黎曼猜想的证明变得相当困难。

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2018年9月,89岁的英国数学家迈克尔·阿蒂亚声称证明了黎曼猜想,引起了全世界的关注。不幸的是,他的证据没有成立,他本人于2019年1月11日去世。

我的内容到此结束。喜欢我们文章的读者朋友们,记得点击关注我们——阿尔伯特·史密斯!


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